Testes para Roots da Unidade A análise da série temporal é sobre a identificação, estimativa e verificação diagnóstica de séries temporais estacionárias. A título de revisão, oferecemos as seguintes definições: Definição: A sequência é dita covariância estacionária se para todos t e t-s. Ou seja, a média, variância e covariância são invariantes para a origem do tempo. Definição: Suponha que tenhamos a seqüência t (t0,1,2,133) com a média m e a variância s 2. Então a função de autocorrelação ou o correlograma é dado por Suponho que temos uma série t que sabemos ter sido gerada por um AR (1 ) Processar, digamos, onde e e é ruído branco. Podemos estimar os parâmetros em (1) pela OLS: Nosso estimador é eficiente e a série está estacionária desde então. Podemos usar uma estatística t para testar a hipótese Este é um teste legítimo, uma vez que o nulo é uma hipótese refutável, mesmo que o poder contra um substituto local seja insignificante. Mas suponha que os dados foram realmente gerados. Após a substituição recursiva, isso pode ser reescrito, o que não é estacionário, já que t é grande. Agora, queremos testar. Existe um problema, no entanto, uma vez que o centro de massa do estimador usual seria delimitado de 1. Nós tendemos a errar do lado de rejeitar muitos H 0. A questão da presença de uma raiz unitária é particularmente problemática em modelos de regressão do tipo. Nós geralmente assumimos que t e t são estacionários e que e t é ruído branco. Se as duas variáveis não são estacionárias, provavelmente obteremos resultados espúrios: R 2 altos e coeficientes estatisticamente significativos, embora não haja realmente uma relação significativa entre y e z. Há quatro casos a considerar Ambos t e t são estacionários e o modelo de regressão clássico é o. k. As seqüências t e t estão integradas de diferentes ordens. Os modelos de regressão que contêm essas séries não estacionárias não têm sentido. O t e t não estacionário são ambos integrados na ordem 1, digamos, e o termo de erro tem uma deriva estocástica. Agora, todos os erros são permanentes. Isso é E t e ti e t. Mas podemos aplicar o OLS com bom efeito para t e t são integrados na mesma ordem e a sequência residual é estacionária. Então, t e t dizem ser cointegrados. Por exemplo: Tanto t como t são processos de raiz unitária, mas y t - z t e yt-e zt é estacionário. Vamos deixar o caso 4 até o capítulo sobre cointegração. Por enquanto, nos ocuparemos de determinar se a série t tem ou não uma unidade de raiz. Dickey-Fuller Testes Considere o processo de geração de dados E a questão associada é um 1 1 Subtrair y t-1 de ambos os lados para obter g 0 implica que 1 1 implica uma unidade de raiz em t. Nós podemos permitir a deriva, incluindo uma intercepção Definição: O termo drift estocástica vem do seguinte: Suponha que o processo seja. Podemos reescrever isso como no próximo período, ou seja, t1, a interceptação é aoa 1 t1 maior, ao qual adicionamos Um termo estocástico. Vimos essa idéia de uma intercepção estocástica em outros lugares. Ou seja, no modelo de efeitos aleatórios. Podemos permitir uma tendência linear com deriva. Em qualquer caso, nosso teste de hipótese é a estatística de teste que utilizamos para o teste de hipótese é construída como uma estatística t. Isto é, os valores críticos provêm de um conjunto de tabelas preparadas por Dickey e Fuller. As tabelas foram geradas empiricamente. Estamos acostumados a fazer testes com valores críticos que determinamos analiticamente pela integração de uma função de distribuição conhecida. A tabela particular a ser usada depende de se o modelo tem uma intercepção ou uma tendência nele. No entanto, os valores críticos não são alterados, incluindo termos no lado direito. Para orientá-lo no procedimento de teste, considere o seguinte diagrama de fluxo de Walter Enders, Applied Econometric Time Series, Wiley, 1995. Um começa no canto superior esquerdo com o modelo mais geral, que inclui uma deriva estocástica e uma tendência determinista. Ou a tendência ou a deriva podem produzir a aparência de uma unidade de raiz em seu próprio direito, então eles devem ser incluídos no início. Lembre-se de que uma variável relevante excluída introduz um viés, mas uma variável irrelevante incluída tem apenas um custo em termos de eficiência. Se o nulo de uma raiz não for rejeitado, proceda testando o significado do termo de tendência na presença de uma unidade de raiz. Se o termo de tendência não for significativo, então teste para o significado do termo de deriva. Se, ao longo do caminho, acharmos que a tendência ou a deriva não é zero, então procedemos imediatamente a testar o significado de g. Os seguintes modelos foram adequados ao índice de produção do Federal Reserve Bank para o período 1950: 1 - 1977: 4, um total de 112 observações. Em todos os três modelos, os números entre parênteses são erros padrão. O modo mais geral, correspondente ao início do diagrama de fluxo, é No nível de teste 5 (2,5 em cada cola), o valor crítico para o coeficiente em y t-1 para um modelo com deriva e tendência é de -3,73, em comparação com Uma estatística de teste observada de 3,6, portanto, não conseguimos rejeitar o nulo. Por enquanto acreditamos que existe uma unidade de raiz. Em seguida, encaixamos um modelo que impõe a restrição que g 0 e teste para ver se o coeficiente de tendência é zero. Note-se que, com base em um teste t convencional, o coeficiente de tendência é altamente significativo. Um modelo com deriva, mas nenhuma tendência e que supõe que existe uma raiz de unidade. Agora, o teste de hipótese é H o. Raiz unitária, sem tendência H 1. Um ou ambos não são verdadeiros A estatística de teste apropriada é construída como se fosse um teste F, mas o valor crítico é lido a partir de um conjunto diferente de tabelas. O valor crítico no nível 5 é 6,49, portanto, não rejeitamos o nulo. Nossa conclusão sobre este ponto é que existe uma unidade de raiz e que a tendência deve ser excluída. Um modelo sem drift nem tendência, mas que pressupõe uma raiz unitária. O teste de hipótese é H o. Raiz unitária, sem tendência, sem deriva H 1. Um ou mais pertence O valor crítico no nível 1 do teste é 6,50. Uma vez que nossa estatística de teste observada é menor do que o valor crítico, não rejeitamos o nulo. Nossa conclusão é que existe uma unidade de raiz, não há tendência nem deriva. Extensão de Dickey-Fuller Suponha que o processo de geração de dados seja um pouco mais geral do que o processo com o qual começamos. Também admitirá uma multiplicidade de raízes. Precisamos aumentar Dickey-Fuller para testar esta possibilidade. Consideremos o processo AR (3) Vamos adicionar e subtrair um 3 y t-2 para obter agora adicionar e subtrair (a 2 a 3) y t-1 para obter Finalmente, subtrair y t-1 de ambos os lados Agora nós Pode testar a presença de uma unidade de raiz. Sabemos que se os coeficientes em uma equação de diferença somem para um, então, pelo menos, uma raiz é unidade. No contexto atual, isso equivale a testar g 0, como no caso mais simples. Os valores críticos para este modelo aumentado permanecem os mesmos que antes. Parêntesis no parêntese, adicionar uma tendência de tempo causa dor de cabeça quando chega a hora de derivar as grandes propriedades da amostra do estimador OLS, uma vez que xx não será mais um elemento finito. Problemas com D-F e aumento de D-F 1. O termo de erro pode ter um termo médio móvel nele. Suponha que A (L) y t C (L) e t e as raízes de C (L) ficam fora do círculo da unidade, de modo que C (L) seja reversível. Então, Infelizmente, D (L) será de ordem infinita, mas podemos usar nosso procedimento anterior para escrever. Com nossos conjuntos de dados finitos, podemos estar em problemas, se não pelo fato de que foi mostrado empiricamente que uma boa aproximação irá cortar o Atraso distribuído no termo T3. 2. Qual é o comprimento de paralisação adequado para os termos diferenciados incluídos no RHS O problema de muitos atrasos reduz a eficiência do estimador. Este é um problema muito menos grave do que usar muito poucos atrasos. Como apontado anteriormente, excluir variáveis relevantes afetará o viés e a consistência do estimador OLS. 3. Testes DF para ver se existe pelo menos uma raiz. Suponha que existam mais Por exemplo, pode-se estimar os parâmetros do modelo (1-L) 2 y t b 1 (1-L) y t-1 e t. Um então usaria as estatísticas DF, conforme apropriado para o caso, para testar b 1 0. Se b10, então, há 2 raízes da unidade, se não for zero, então é preciso continuar e testar para ver se existe uma única unidade de raiz . O procedimento é generalizado da maneira óbvia. 4. Como saber quais regressores deterministas pertencem ao modelo. Os procedimentos utilizados no exemplo de produção do FRB e nos problemas 2 e 3 usam testes de hipótese em cascata. Como se mostra em Theil, Principles of Econometrics, Wiley, 1971, isso reduz o nível de significância pretendido do teste em cada etapa seguinte. Do mesmo jeito, o juiz e seus numerosos co-autores argumentariam que o procedimento descrito no fluxograma coloca o domínio do pré-teste e, portanto, maior perda de erro ao quadrado em uma grande parte do espaço de parâmetros. No entanto, no trabalho aplicado, muitas vezes ignoramos essas ressalvas e usamos o processo no fluxograma. Outro exemplo: paridade de poder de compra No âmbito do PPP, a taxa de depreciação da moeda é aproximadamente igual à diferença entre as taxas de inflação doméstica e externa. O modelo de PPP implica onde pt log do nível de preços dos EUA pt log do nível de preços estrangeiros e log do preço em dólar do câmbio dt desvio de PPP no tempo t As três séries de dados aplicam a transformação de log para que estejamos usando as taxas de inflação . Em certos modelos de PPP, é possível que choques reais ofereçam ou ofereçam para causar desvios permanentes. Intuitivamente, os desvios não devem persistir ou haveria oportunidades substanciais para a tomada de lucro. E, de qualquer forma, essa tomada de lucro e arbitragem restauraria PPP eventualmente. Um procedimento popular na modelagem empírica de PPP é construir a série Se PPP deve ser segurado, então r t deve ser estacionário com uma média zero. Além disso, não pode haver tendência nem deriva estocástica. Para desviar e antecipar o material em outra seção, e t. Pt e p t são ditos cointegrados quando o modelo PPP é verdadeiro. Esta formulação específica do modelo impõe um vetor de cointegração específico nas três variáveis. A dados mensais para as eras de Bretton Woods pré (1960.1 - 1971.4, T136) e pós - (1973.1 - 1986.11, T167) para obter os seguintes resultados, com erros padrão de coeficientes entre parênteses: Observe que um 2 0 para o último período. Esta razão, por si só, questiona a validade do PPP. Em nenhum dos dois períodos podemos rejeitar o nulo de uma unidade de raiz. O t observado é pequeno por qualquer padrão. A mudança no regime cambial tornou as taxas de câmbio mais voláteis e imprevisíveis (ver SD e SEE). Neste exemplo, nós não conseguimos rejeitar o nulo de uma unidade de raiz. Não podemos acreditar no modelo PPP. Mas nosso procedimento de teste é baseado na variância constante do termo de erro, o que não parece ser o caso. Phillips e Perron criaram estatísticas de teste corrigidas para as instâncias em que o erro é um MA, talvez seja heterogêneo, ou há uma quebra estrutural nos dados. Mudança Estrutural Como podemos distinguir a diferença entre uma série que tem uma quebra estrutural, mas seria estacionada, e uma série que não é estacionária, mas que devido a um impulso parece evoluir como a primeira série Considere um modelo em Que há uma mudança no intercepto onde DL é um por muitos períodos consecutivos e zero caso contrário. Um exemplo é a seguinte figura. A linha vermelha é a série original. A linha azul é a regressão simples de y t no tempo (a-3.543, b.189). Na regressão de y t on y t-1, obtemos Aparentemente, a ruptura estrutural faz com que o coeficiente em y t-1 seja polarizado em direção a um. Para todas as aparências, não é estacionário, embora sejamos estacionários antes e depois do intervalo em t50. Mesmo sem fazer o teste para este caso, não esperamos que Dickey-Fuller seja muito robusto contra esses modelos com uma ruptura estrutural neles. De fato, a estatística de teste observada é t .507 Agora, considere um modelo não estacionário no qual houve um pulso único e feito em que DP é um em um determinado período e zero, caso contrário. Um exemplo é a seguinte figura: A linha vermelha é a Série original. A linha azul é a regressão simples de y t no tempo (a-8.086, b.233). Há uma ruptura aparente em t50. A regressão de y t em seu valor atrasado nos dá Mesmo sem um teste formal, o tamanho do coeficiente nos leva a suspeitar de uma raiz unitária, o que é realmente o caso. Sem um teste estatístico, realmente não podemos distinguir este caso da instância anterior. Phillips e Perron desenvolveram um teste para este problema. Considere o modelo de trabalho em que D P é um pulso igual a um em um período e zero de outra forma, D L é um por alguns períodos consecutivos e zero, caso contrário. Passo 1. Estime os coeficientes do modelo completo. Etapa 2. Compare as estatísticas t com os valores críticos em Perron. De particular interesse será o coeficiente a 1. Quando Perron usou este método para analisar os dados de Plosser-Nelson, ele descobriu que a maioria das séries de séries de macro são estacionárias estacionárias. Testando a hipótese nula de estacionaria contra a alternativa de uma raiz de unidade. Com certeza, a série econômica tem uma raiz de unidade. Denis Kwiatkowski Universidade Central de Michigan, Mt. Agradável, MI 48859, EUA Peter CB Phillips Yale University, New Haven, CT 06520, EUA Peter Schmidt Yongcheol Shin Michigan State University, East Lansing, MI 48824, EUA Disponível on-line 1 de março de 2002. Propomos um teste da hipótese nula de que um A série observável é estacionária em torno de uma tendência determinista. A série é expressa como a soma da tendência determinística, caminhada aleatória e erro estacionário, e o teste é o teste LM da hipótese de que a caminhada aleatória tem variância zero. A distribuição assintótica da estatística é derivada sob o nulo e sob a alternativa de que a série é diferença-estacionária. O tamanho e o tamanho da amostra finita são considerados em um experimento de Monte Carlo. O teste é aplicado aos dados de Nelson-Plosser e, para muitas dessas séries, a hipótese de estabilidade de tendência não pode ser rejeitada. O segundo e terceiro autores agradecem o apoio da National Science Foundation. Copyright 1992 Publicado por Elsevier B. V. Citing articles () Enhanced PDF (288 KB) A teoria assintótica de vários estimadores baseados na probabilidade gaussiana foi desenvolvida para a raiz unitária e os casos de raiz de unidades próximas de um modelo de média móvel de primeira ordem. Estudos anteriores do problema da raiz da unidade MA (1) dependem da estrutura de autocovariância especial do processo MA (1), caso em que os autovalores e os vetores próprios da matriz de covariância do vetor de dados têm formas analíticas conhecidas. Neste artigo, tomamos uma abordagem diferente para primeiro considerar a probabilidade conjunta, incluindo um valor inicial aumentado como parâmetro e, em seguida, recuperar a probabilidade exata integrando o valor inicial. Esta abordagem ultrapassa a dificuldade de computar uma decomposição explícita da matriz de covariância e pode ser usada para estudar o comportamento da raiz unitária em médias móveis além da primeira ordem. Também foram estudados os assintóticos da estatística da razão de verossimilhança generalizada (GLR) para testar as raízes da unidade. O teste GLR possui características operacionais competitivas com o melhor teste localmente invariante (LBIU) de Tanaka para algumas alternativas locais e domina todas as outras alternativas. Informações sobre o artigo Datas Primeiro disponível no Project Euclid: 24 de janeiro de 2017 Link permanente para este documento projecteuclid. orgeuclid. aos1327413778 Identificador de Objeto Digital doi: 10.121411-AOS935 Davis, Richard A. Song, Li. Raízes da unidade em médias móveis além da primeira ordem. Ann. Estatista. 39 (2017), não. 6, 3062 - 3091. Doi: 10.121411-AOS935. Projecteuclid. orgeuclid. aos1327413778. Referências 1 Anderson, T. W. e Takemura, A. (1986). Por que as médias móveis estimadas não invariáveis ocorrem J. Time Series Anal. 7 235x2017254. 2 Andrews, B. Calder, M. e Davis, R. A. (2009). 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